平均值不等式大家都非常熟悉,特别是算术平均值大于几何平均值,在高一基本不等式这一部分专门提到。推广到n元的一般情况,就是:
这四个平均值,从左到右依次是平方平均值、算术平均值、几何平均值、调和平均值。对于二元的情况证明很简单,现在推广到n元,这个式子包含三个不等式,而中间和右边这两个不等式是对称的,所以实际上就是证明两个不等式。
先证明左边这个:
这不就是柯西不等式吗?所以很容易证明。对于中间这个不等式,我用添项法来证明。我们知道:
这里实际上就是n项之后的项都取A,凑成项数为2的幂,这样就写成了上面的不等式,接下来要由这个式子推导出中间那个不等式成立。
这样中间这个不等式就证明了。接下来证明右边这个不等式,其实它和中间的不等式是对称的。只需令:
变量代换之后正是中间这个不等式。
接下来我就要开始进行降维打击了。刚才是对这三个不等式一个一个证明。其实只要构造一个函数就可以对三个不等式统一进行证明。
可以看到当r=2时,就是平方不等式,r=1时就是算术平均值,r=-1时就是调和平均值。还差一个几何平均值,这里要先证明一个极限:
也就是说这个函数在0处的极限就是几何平均值。现在证明这个极限成立。
于是让函数在0处的值等于极限,这样定义在实数域上的函数:
可知函数在整个实数域是连续的。只要我们知道了该函数在实数域非严格单调递增,就可以证明开始的不等式了。这个证明方法就是对该函数求导,证明导函数恒大于等于0。在这种降维打击下,可以看到开始的四个平均值都是函数在某个特殊点的值,这个函数是平均值更一般的形式,叫做幂平均函数。通过它还能创造更多的平均值。
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